Теория информации


Совершенные и квазисовершенные коды - часть 2


В -ой строке стоят цифры двоичного представления числа . Матрицы для r=2, 3 и 4 таковы:
  • Записывается система уравнений , где - матрица из предыдущего пункта. Система состоит из уравнений. Например, для :

  • Чтобы закодировать сообщение , берутся в качестве , не равно степени двойки, соответствующие биты сообщения и отыскиваются, используя полученную систему уравнений, те , для которых - степень двойки. В каждое уравнение входит только одно , . В выписанной системе входит в 1-е уравнение, - во второе и - в третье. В рассмотренном примере сообщение будет закодировано кодовым словом .
  • Декодирование кода Хэмминга проходит по следующей схеме. Пусть принято слово , где - переданное кодовое слово, а - строка ошибок. Так как , то . Если результат нулевой, как происходит при правильной передаче, считается, что ошибок не было. Если строка ошибок имеет единицу в -й позиции, то результатом произведения будет -я строка матрицы или двоичное представление числа . В этом случае следует изменить символ в -й позиции слова , считая позиции слева, с единицы.

    Пример. -код Хэмминга имеет в качестве одного из кодовых слов . Матрица приведена на шаге 3 хода построения кода Хэмминга. Ясно, что . Добавим к строку ошибок . Тогда и , т.е. ошибка находится в третьей позиции. Если , то и позиция ошибки - и т.п. Если ошибка допущена в более чем в одной позиции, то декодирование даст неверный результат.

    Код Хэмминга - это групповой код.

    Это следует из того, что -код Хэмминга можно получить матричным кодированием, при помощи -матрицы, в которой столбцы с номерами не степенями 2 образуют единичную подматрицу. Остальные столбцы соответствуют уравнениям шага 4 построения кода Хэмминга, т.е. 1-му столбцу соответствует уравнение для вычисления 1-го контрольного разряда, 2-му - для 2-го, 4-му - для 4-го и т.д. Такая матрица будет при кодировании копировать биты сообщения в позиции не степени 2 кода и заполнять другие позиции кода согласно схеме кодирования Хэмминга.

    Пример. Кодирующая матрица для -кода Хэмминга -




    Начало  Назад  Вперед



    Книжный магазин